Hay un punto delicado aquí: la demostración de Abel no afirma que no hay solución, sino que no hay una fórmula de solución. Ya desde el siglo XVII se pensaba que la ecuación algebraica de grado n tiene n soluciones que pueden repetirse. Para hacer más preciso lo anterior: hay números complejos y1, y2,. . ., yn tal que:
Así, si quisiéramos resolver la ecuación:
tendríamos que resolver:
lo que resulta fácil, dado que un producto de factores es cero sólo si uno de sus factores lo es. Por ello —y como an ≠ 0 —, se tiene que x - yi = 0 para algún , así que x = yi para algún i. Lo anterior muestra que sí tiene sentido decir que una solución es "doble" o "múltiple". El resultado formal se llama el teorema fundamental del álgebra y dice que: Cada ecuación algebraica:
(29)
con coeficientes a0, a1, …, an números complejos tiene n soluciones complejas, si se cuentan posibles repeticiones.
Por ejemplo, la ecuación x2 – 2x + 1 =0 tiene las dos soluciones: 1 y 1 ya que x2 – 2x + 1 = (x – 1)(x – 1).
La primera demostración correcta es de Jean-Robert Argand, en 1806. Gauss hizo varias demostraciones de este resultado a lo largo de su vida. El teorema fundamental del álgebra muestra que siempre hay soluciones complejas, pero no es constructivo, es decir, no da ningún método para encontrarlas. Es un punto delicado: el resultado afirma la existencia de soluciones sin exhibir ninguna de ellas. Sólo dice que existen, nada más. Por ello, se percibe la gran importancia de fórmulas para calcular las soluciones de manera explícita. Sin embargo, el teorema de Abel-Ruffini dice que éstas no se pueden encontrar con una fórmula si n ≥ 5. Lo anterior quiere decir que las soluciones existen y pueden encontrarse de manera aproximativa, es decir, hasta cualquier precisión de dígitos, pero si n ≥5, no es posible sustituir los coeficientes a0, a1,. . ., an de la ecuación (29) en alguna fórmula para obtener de golpe las soluciones.
